$i=1, 2, 3$ અને $j=1, 2, 3$ માટે. જો $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$,$a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$,$\forall i \neq j$ અને $A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\det(AA^T)=$

ધારો કે $\Omega$ એ તમામ $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિકોનો ગણ છે જેના તમામ ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. આમાંથી પાંચ ઘટકો $1$ છે અને ચાર ઘટકો $0$ છે.
$1.$ $\Omega$ માં શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ નો ઉકેલ અનન્ય છે?
$(A) 4$ થી ઓછી $(B) 4$ કે તેથી વધુ પણ $7$ થી ઓછી $(C) 7$ કે તેથી વધુ પણ $10$ થી ઓછી $(D) 10$ કે તેથી વધુ
$3.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ સુસંગત નથી?
$(A) 0$ $(B) 2$ થી વધુ $(C) 2$ $(D) 1$

ધારો કે $S =\{ M = [a_{ij}], a_{ij} \in \{0,1,2\}, 1 \leq i, j \leq 2\}$ એ એક નિદર્શાવકાશ છે અને $A = \{M \in S : M \text{ વ્યસ્ત છે}\}$ એ એક ઘટના છે. તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = [a_{ij}]_{2 \times 2}$ જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \neq 0$ અને $A^2 = I$ છે. ધારો કે $a$ એ $A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે અને $b = |A|$ છે,તો $3a^2 + 4b^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે ન્યૂનતમ $m$ $(m \in Z^+)$ એ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ની ઘાત તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે જેથી $A^m = I$. જો $A^5 = I$ અને $ABA^{-1} = B^2$ હોય,તો શ્રેણિક $B$ ની ઘાત $k$ કે જેના માટે $B^k = I$ થાય તે કોની વચ્ચે છે?

ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ નું બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે. તો $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ ની કિંમત શોધો.