z in mathbb{C} के लिए,यदि (1+z)^n = 1 + { }^n | vedclass

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Question

(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है। माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$। तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} {

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$50$

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(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है। माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$। तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$। $1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ का उपयोग करते हुए,$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$। काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$। $n = 100$ के लिए,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$। दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k = 50$ प्राप्त होता है।

$z \in \mathbb{C}$ के लिए,यदि $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ और $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ है,तो $k =$

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$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

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