z in mathbb{C} માટે,જો (1+z)^n = 1 + { }^n C_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે. ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$. તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n}

Vedclass · Accepted Answer

$50$

Vedclass · Answer

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે. ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$. તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$. $1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$. કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$. $n = 100$ માટે,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$. આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k = 50$ મળે છે.

$z \in \mathbb{C}$ માટે,જો $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ અને $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ હોય,તો $k =$

Similar Questions

$\frac{C_1}{C_0} + 2\frac{C_2}{C_1} + 3\frac{C_3}{C_2} + \dots + 15\frac{C_{15}}{C_{14}} = $

$(1+x)^{59}$ ના વિસ્તરણમાં, જ્યારે $x$ ના ચડતા ઘાતાંકમાં વિસ્તરણ કરવામાં આવે ત્યારે છેલ્લા $30$ સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ હોય, તો $30a$ ની કિંમત શોધો:

$(1 + x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module