સમીકરણ z^4+z^2+1=0 ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,તેથી $z+\frac{1}{z} = \pm 1$. $z^3+\frac{1}{z^3}$ માટે,આપણે નિત્યસમ $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો $z+\frac{1}{z} = 1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$. પદાવલિ $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ બને છે. જો $z+\frac{1}{z} = -1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$. પદાવલિ $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ બને છે. સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના બીજ $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ છે. આ માટે,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$. તેથી,કિંમત $8$ છે.

સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ $z$ માટે,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો ${a^2} + {b^2} = 1$ હોય,તો $\frac{{1 + b + ia}}{{1 + b - ia}} = $

જો $\alpha+i \beta$ અને $\gamma+i \delta$ એ $x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0$ ના બીજ હોય,જ્યાં $i=\sqrt{-1}$,તો $\alpha \gamma+\beta \delta$ ની કિંમત શોધો :

જો $z_1$ અને $z_2$ બે એકમાપી (unimodular) સંકર સંખ્યાઓ હોય જે $z_1^2 + z_2^2 = 5$ નું સમાધાન કરે છે,તો $(z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ ની કિંમત શોધો.

$z_1$ અને $z_2$ બે સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ થાય,તો $|z_1^3 + z_2^3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો સંકર સંખ્યા $z$ એ સમીકરણ $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ નું સમાધાન કરે,તો $|z|$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module