एक त्रिभुज ABC के लिए, मान लीजिए vec{p}=vec{B | vedclass

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Question

(D) त्रिभुज $ABC$ में, हमारे पास $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ है, इसलिए $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$।शीर्ष $C$ पर कोण $(\pi - 	heta)$ के लिए कोज

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(D) त्रिभुज $ABC$ में, हमारे पास $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ है, इसलिए $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$।शीर्ष $C$ पर कोण $(\pi - 	heta)$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:$\cos(\pi - 	heta) = \frac{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - |\vec{r}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$चूंकि $\cos(\pi - 	heta) = -\cos 	heta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए:$-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - |\vec{r}|^2}{2(2\sqrt{3})(2)} = \frac{12 + 4 - |\vec{r}|^2}{8\sqrt{3}}$$-8 = 16 - |\vec{r}|^2 \implies |\vec{r}|^2 = 24$।अब, हम व्यंजक $|\vec{p} 	imes (\vec{q} - 3\vec{r})|^2 + 3|\vec{r}|^2$ का मूल्यांकन करते हैं:$\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$ प्रतिस्थापित करने पर:$|\vec{p} 	imes (\vec{q} - 3(\vec{p} + \vec{q}))|^2 + 3(24) = |\vec{p} 	imes (\vec{q} - 3\vec{p} - 3\vec{q})|^2 + 72$$= |\vec{p} 	imes (-3\vec{p} - 2\vec{q})|^2 + 72 = |-2(\vec{p} 	imes \vec{q})|^2 + 72$$= 4|\vec{p} 	imes \vec{q}|^2 + 72 = 4|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \sin^2 	heta + 72$चूंकि $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\sin^2 	heta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।$= 4(12)(4)(\frac{2}{3}) + 72 = 16(8) + 72 = 128 + 72 = 200$।

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