सभी $n \in N$ के लिए,$(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य है?

$10000$ से छोटी ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य हैं और जिनमें किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होती है?

यदि $^n{P_r} = 840$ और $^n{C_r} = 35$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि अंकों $0, 1, 3, 5,$ और $7$ का उपयोग करके $5,000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ यादृच्छिक रूप से बनाई जाती हैं,तो अंकों की पुनरावृत्ति न होने पर $5$ से विभाज्य संख्या बनने की प्रायिकता क्या है?

यदि शब्द $'GANGARAM'$ के सभी अक्षरों को व्यवस्थित किया जाए,तो ऐसे कितने शब्द बनेंगे जिनमें ठीक दो स्वर एक साथ हों लेकिन कोई भी दो $'G'$ एक साथ न हों?

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,जिनमें प्रत्येक सेट को $1$ से $n + 1$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों।