किसी भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ शून्येतर सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}=0$,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{r}||\overrightarrow{b}|$ और $|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{r}||\overrightarrow{c}|$ है,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ का मान क्या होगा?

यदि $(2,3,9), (5,2,1), (1, \lambda, 8)$ और $(\lambda, 2,3)$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है।

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ शून्येतर समतलीय सदिश हैं,तो $[2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \quad 3 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \quad 4 \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}]$ का मान क्या है?

माना $\vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{CB} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ समांतर चतुर्भुज $OBDC$ के विकर्ण हैं। यदि $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ एक अन्य सदिश है, तो सदिशों $\vec{OA}, \vec{OB}$, और $\vec{OC}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन (घन इकाइयों में) है:

यदि $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = c_{1}\hat{i} + c_{2}\hat{j} + c_{3}\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं और $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5$,$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$ है,तो $122(c_{1} + c_{2} + c_{3})$ का मान....... है।