કોઈપણ શૂન્યતર સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ માટે,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ ની કિંમત શું થાય?

જો સદિશો $\bar{a}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+p \hat{k}$ અને $\bar{c}=5 \hat{\imath}-9 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો હોય અને $\vec{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,$\vec{r} \cdot \vec{b} = 1$,અને $[\vec{r} \, \vec{a} \, \vec{b}] = 1$ થાય,તો $\vec{r} = \dots$

ધારો કે $\alpha \in \mathbb{R}$ અને ત્રણ સદિશો $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \alpha \hat{k}$,અને $\vec{c} = \alpha \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે. તો ગણ $S = \{ \alpha : \vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c} \text{ સમતલીય છે} \}$

ધારો કે $\vec{b} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 10\hat{k}$ છે. જો $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ હોય અને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય,તો $\vec{a}$ બરાબર શું થાય?

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $p, q$ અને $r$ સદિશો $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ ની કિંમત શું થાય?