सतत फलनों के प्रत्येक युग्म f, g: [0, 1] righ | vedclass

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Question

(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है। चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [

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$(A, D)$

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(D) माना $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है। चूँकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत हैं,इसलिए ऐसे $a, b \in [0, 1]$ मौजूद हैं कि $f(a) = \lambda$ और $g(b) = \lambda$ हो। $h(x) = f(x) - g(x)$ को परिभाषित करें। तब $h(a) = f(a) - g(a) = \lambda - g(a) \ge 0$ और $h(b) = f(b) - g(b) = f(b) - \lambda \le 0$ होगा। मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in [0, 1]$ मौजूद है कि $h(c) = 0$ हो,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)$। विकल्प $(A)$ के लिए: $(f(c))^2 + 3f(c) = (g(c))^2 + 3g(c)$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है। विकल्प $(D)$ के लिए: $(f(c))^2 = (g(c))^2$। चूँकि $f(c) = g(c)$ है,इसलिए यह सत्य है। विकल्प $(B)$ और $(C)$ के लिए,$f(x) = g(x) = \lambda$ लें जहाँ $\lambda 
eq 0$ है। तब $(B)$ का रूप $\lambda^2 + \lambda = \lambda^2 + 3\lambda$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3\lambda$,या $\lambda = 0$,जो $\lambda 
eq 0$ का विरोधाभास है। इसी प्रकार $(C)$ के लिए भी। अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \\ 1 - x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \end{cases}$ है,तो $f(x)$ कितने बिंदुओं पर सतत है?

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 + kx} - \sqrt{1 - kx}}{x} & \text{for } -1 \le x < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & \text{for } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k = $

दर्शाइए कि $f(x) = \sin(x^{2})$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

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