वास्तविक संख्याओं alpha, beta, gamma और delta | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करन

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर.$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.माना $t = 	an^{-1}(x+1/x)$,तब $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,जहाँ $y=x-1/x$ और $z=x+1/x$.$I = \log_e |	an^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} 	an^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1/x) + C$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.अतः $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

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$\int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x=$

यदि $\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3} d x=f(x) \log \left(\frac{1}{g(x)}\right)+\tan ^{-1}(h(x))+c$ है,तो $h(x)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right]=$

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{(x+1) dx}{x(1+xe^x)}$

$\int \frac{2 x+2}{\sqrt{x^2-4 x-5}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $I_n = \int \sec^n x \, dx$ है। यदि $5 I_6 - 4 I_4 = f(x)$ है, तो $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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