અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ માટે,તે બિંદુઓના અભિસંધાન (abscissae) શોધો જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ એ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,જે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ છે.

જો વિધેય $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

સમય $t$ પર ગતિ કરતી કારનું સ્થાન $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b$ અને $c$ એ $1$ કરતા મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તો સમયના અંતરાલ $[t_{1}, t_{2}]$ દરમિયાન કારની સરેરાશ ઝડપ કયા બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વખત વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ અને $f(4)=-2$ છે. તો,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ ના શૂન્યોની ન્યૂનતમ સંખ્યા .................... છે.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $I$: જો $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો બહુપદી $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ ને અંતરાલ $(0,1)$ માં એક શૂન્ય છે.
વિધાન $II$: જો $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય અને $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય હોય, જ્યાં $a>0$ અને જો $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ હોય, તો એવો $c \in(a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $c f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$. તો,