वक्र frac{x^n}{a^n}+frac{y^n}{b^n}=2, (n in N | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ है। बिंदु $(a, b)$ पर, हम जाँचते हैं कि क्या यह वक्र पर स्थित है: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b

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$n$ के सभी मानों के लिए एक स्पर्शरेखा

Vedclass · Answer

(C) दिया गया वक्र $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ है। बिंदु $(a, b)$ पर, हम जाँचते हैं कि क्या यह वक्र पर स्थित है: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b^n}{b^n} = 1 + 1 = 2$. अतः, $(a, b)$ वक्र पर स्थित है। समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$. अतः, $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{b^n}{y^{n-1}} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$. बिंदु $(a, b)$ पर, स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होती है। बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है, जिसे सरल करने पर $ay - ab = -bx + ab$ अर्थात $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है। $ab$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ प्राप्त होता है। अतः, यह रेखा $n > 1$ के सभी मानों के लिए एक स्पर्शरेखा है।

वक्र $\frac{x^n}{a^n}+\frac{y^n}{b^n}=2, (n \in N \text{ और } n > 1)$ के लिए, रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$ है

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