फलन f(x) = e^{cos x} के लिए, रोले का प्रमेय | vedclass

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Question

(A) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर लागू होने के लिए, उसे तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ प

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तब लागू होता है जब $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$

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(A) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर लागू होने के लिए, उसे तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है। $2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है। $3$. $f(a) = f(b)$। $f(x) = e^{\cos x}$ के लिए, फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है। हम दिए गए विकल्पों के लिए शर्त $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं: विकल्प $A$ के लिए: $f(\frac{\pi}{2}) = e^{\cos(\pi/2)} = e^0 = 1$ और $f(\frac{3\pi}{2}) = e^{\cos(3\pi/2)} = e^0 = 1$। चूँकि $f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2})$, इसलिए रोले का प्रमेय अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर लागू होता है।

फलन $f(x) = e^{\cos x}$ के लिए, रोले का प्रमेय

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फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$,$x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$ है।
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

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