વિધેય $f(x) = e^x$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર જ્યાં $a = 0$ અને $b = 1$ છે,ત્યારે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કિંમત શું થશે?

જો $f(x) = x^{3}$ અને $g(x) = x^{3} - 4x$ અંતરાલ $[-2, 2]$ માં હોય,તો નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(a)$ $f(x)$ અને $g(x)$ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(b)$ $f(x)$ અને $g(x)$ બંને રોલના પ્રમેય (Rolle's Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(c)$ માત્ર $g(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

જો વિધેય $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S$ એ $[0,1]$ પર સતત અને $(0,1)$ પર વિકલનીય એવા તમામ વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ નો ગણ છે. તો $S$ માંના દરેક $f$ માટે,$f$ પર આધારિત એવો $c \in (0,1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:

વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$ એ $[-3, 0]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f$ એ $[1,3]$ માં $f(x)=x^3+b x^2+a x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,જેથી $f(1)-f(3)=0$ અને $f^{\prime}(c)=0$,જ્યાં $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,તો $(a, b)$ બરાબર શું થાય?