વિધેય $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$ એ $[-3, 0]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

ધારો કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય વિધેય છે,જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1$ (બધા $x \in (1, 2)$ માટે) નું પાલન કરે છે. જો $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (બધા $x \in [1, 2]$ માટે) હોય,તો $[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ નું સમાધાન કરતા $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે, સમીકરણ $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ ને કયા અંતરાલમાં વાસ્તવિક બીજ મળે છે?

જો $x \in [3, 12]$ માટે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ હોય,તો $c \in (3, 12)$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)}$ થાય.