फलन f(x) = x + frac{1}{x},x in [1, 3] के लिए, | vedclass

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Question

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = 1$ और $b = 3$ है।$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.प्रमेय लागू करने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$.$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.$c^2 = 3 \Rightarrow c = \sqrt{3}$ (क्योंकि $c \in (1, 3)$)।

फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \in [1, 3]$ के लिए,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

मान लीजिए $f(x)$,$[0, 2]$ में एक अवकलनीय फलन है,$f(0) = 0$ और $f'(x) \le \frac{1}{2}$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए। तो:

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए।

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