यदि फलन f(x)=x^{3}-ax^{2}+bx-4 के लिए अंतराल | vedclass

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Question

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।$f(1) = 1 - a + b - 4 = -a + b - 3$$f(2) = 8 - 4a + 2b - 4 = -4a + 2b + 4$दोनों को ब

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$(5, 8)$

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(A) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।$f(1) = 1 - a + b - 4 = -a + b - 3$$f(2) = 8 - 4a + 2b - 4 = -4a + 2b + 4$दोनों को बराबर करने पर: $-a + b - 3 = -4a + 2b + 4 \Rightarrow 3a - b = 7$ $.......(1)$दिया है $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 2ax + b$।चूंकि $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right) = 0$,इसलिए $3\left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 2a\left(\frac{4}{3}\right) + b = 0$।$3\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{8a}{3} + b = 0 \Rightarrow \frac{16}{3} - \frac{8a}{3} + b = 0$।$3$ से गुणा करने पर,$16 - 8a + 3b = 0 \Rightarrow 8a - 3b = 16$ $.......(2)$समीकरण $(1)$ से,$b = 3a - 7$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$8a - 3(3a - 7) = 16 \Rightarrow 8a - 9a + 21 = 16 \Rightarrow -a = -5 \Rightarrow a = 5$।अतः $b = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8$।इस प्रकार,$(a, b) = (5, 8)$।

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यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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