$\lambda$ के किस मान के लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \lambda(x^2 - 2x), & \text{यदि } x \le 0 \\ 4x + 1, & \text{यदि } x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर संतत है? $x=1$ पर सांतत्य के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(NONE) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा,दायां सीमा और $x=0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$x=0$ पर बायां सीमा:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \lambda(x^2 - 2x) = \lambda(0^2 - 2(0)) = 0$
$x=0$ पर दायां सीमा:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (4x + 1) = 4(0) + 1 = 1$
$x=0$ पर फलन का मान:
$f(0) = \lambda(0^2 - 2(0)) = 0$
चूंकि बायां सीमा $(0)$ दायां सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए $\lambda$ के किसी भी मान के लिए फलन $x=0$ पर असंतत है।
$x=1$ पर,फलन $f(x) = 4x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जो एक बहुपद फलन है। बहुपद फलन अपने प्रांत में हर जगह संतत होते हैं। अतः,$\lambda$ के किसी भी मान के लिए $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर संतत है।