फलन $f(x) = \frac{x^2 - 2}{\sqrt{1 + x^2}}$ के लिए:

मान लीजिए कि $f : (-\infty, \infty) \to (-\infty, \infty)$ को $f(x) = x^3 + 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
कथन-$1$: फलन का $x = 0$ पर स्थानीय चरम मान है।
कथन-$2$: फलन $f(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर सतत और अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।

माना $x \in R-\{-1,0,1\}$ के लिए $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$ और $g(x)=x-\frac{1}{x}$ है,तो $\frac{f(x)}{g(x)}$ का स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^4(12\ln x - 7)$ के लिए निम्नलिखित स्तंभों का मिलान करें:

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ यदि $(a, b)$ नतिपरिवर्तन बिंदु है,तो $a - b$ बराबर है	$(P)$ $3$
$(B)$ यदि $e^t$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,तो $12t$ बराबर है	$(Q)$ $1$
$(C)$ यदि ग्राफ $(d, e)$ पर अवतल नीचे (concave down) है,तो $d + 3e$ बराबर है	$(R)$ $4$
$(D)$ यदि ग्राफ $(p, \infty)$ पर अवतल ऊपर (concave up) है,तो $p$ बराबर है	$(S)$ $8$

मान लीजिए $f(x) = |(x-1)(x^2-2x-3)| + x - 3$,$x \in R$ है। यदि $m$ और $M$ क्रमशः अंतराल $(0,4)$ में $f$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या हैं,तो $m + M$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$ जहाँ $x > 0$ का अधिकतम मान $x = \frac{1}{e}$ पर प्राप्त होता है,तो: