ગણ $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ થી ગણ $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$ પર વિધેયો બનાવવામાં આવે છે. જો યાદચ્છિક રીતે એક વિધેય પસંદ કરવામાં આવે, તો તે એક-એક (one-one) વિધેય હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ એક સમબાજુ ચતુષ્ફલકીય પાસાના ત્રણ સ્વતંત્ર ફેંકના પરિણામો દર્શાવે છે,જેના ચાર ફલક પર $1, 2, 3, 4$ અંકિત છે. જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,તો $m + n$ ની કિંમત .......... થાય.

પ્રથમ $10$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગણમાંથી તમામ ઘટકો ધરાવતો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ $2 \times 2$ શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે,ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $1$ આવે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ફૂટબોલ ટીમો $T_1$ અને $T_2$ એકબીજા સામે બે મેચ રમે છે. બંને મેચના પરિણામો સ્વતંત્ર છે. $T_1$ ની $T_2$ સામે જીતવાની,ડ્રો કરવાની અને હારવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે. દરેક ટીમને જીત માટે $3$ પોઈન્ટ,ડ્રો માટે $1$ પોઈન્ટ અને હાર માટે $0$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે મેચ પછી અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ ટીમો દ્વારા મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
$(1)$ $P(X>Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

બે સમતોલ પાસાઓને ત્યાં સુધી ઉછાળવામાં આવે છે જ્યાં સુધી સરવાળો $5$ અથવા $7$ ન મળે. તો $5$ એ $7$ પહેલા આવે તેની સંભાવના કેટલી છે?