$6$ व्यंजनों और $5$ स्वरों में से $4$ व्यंजनों और $3$ स्वरों वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

यदि $20$ भिन्न अवयवों वाले समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ के $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है,तो $k$ का मान है

$4$ पुरुषों और $6$ महिलाओं में से $5$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,जिसमें पुरुषों की संख्या महिलाओं की संख्या से अधिक हो?

$11$ समान पेंसिलें $6$ बच्चों के बीच कितने तरीकों से बांटी जा सकती हैं ताकि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक पेंसिल मिले?

एक थैले में $5$ लाल कंचे,$4$ काले कंचे और $3$ सफेद कंचे हैं। $4$ कंचे इस प्रकार निकाले जा सकते हैं कि उनमें से अधिकतम $2$ लाल हों,तो इसके तरीकों की संख्या क्या है?

किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?