यदि $n = ^mC_2$ है,तो $^nC_2$ का मान क्या होगा?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके उन्हें एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

यदि ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ है,तो $r$ का मान किसके बराबर है?

यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}}$,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} = .....$

यदि $4, 6, 9, 5, 3, x$ और $y$ अंकों से बनी सात अंकों की संख्या $3$ से विभाज्य है,तो ऐसी क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या क्या है?

नीचे दी गई असमानताओं में से,$1000$ से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए कौन सी सत्य हैं?
$I. n! \leq n^n$
$II. (n!)^2 \leq n^n$
$III. 10^n \leq n!$
$IV. n^n \leq (2n)!$