यदि m,k का वह न्यूनतम मान है जिसके लिए फलन f( | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$kx - x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x(k - x) \geq 0$। $x \in [0, 3]$ के लिए,इसके

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$(4, 3\sqrt{3})$

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(D) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$kx - x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x(k - x) \geq 0$। $x \in [0, 3]$ के लिए,इसके लिए $k \geq 3$ आवश्यक है।अवकलन $f'(x) = \sqrt{kx - x^2} + x \cdot \frac{k - 2x}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{2(kx - x^2) + kx - 2x^2}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{3kx - 4x^2}{2\sqrt{kx - x^2}}$ है।$f(x)$ को $[0, 3]$ पर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x \in (0, 3)$ के लिए $f'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है।इसका अर्थ है $3kx - 4x^2 \geq 0$,या $x(3k - 4x) \geq 0$।चूंकि $x > 0$,हमें $3k - 4x \geq 0$,या $k \geq \frac{4x}{3}$ की आवश्यकता है।यह शर्त $[0, 3]$ में सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$k$ का मान $[0, 3]$ पर $\frac{4x}{3}$ के अधिकतम मान के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए,जो $\frac{4(3)}{3} = 4$ है।अतः,$m = 4$ है।अब,$k = 4$ के लिए,$f(x) = x\sqrt{4x - x^2}$ है।$[0, 3]$ पर अधिकतम मान $M$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x) = \frac{12x - 4x^2}{2\sqrt{4x - x^2}} = \frac{2x(3 - x)}{\sqrt{4x - x^2}}$ की जाँच करते हैं।क्रांतिक बिंदु $x = 3$ है। चूंकि $f(0) = 0$ और $f(3) = 3\sqrt{4(3) - 3^2} = 3\sqrt{12 - 9} = 3\sqrt{3}$ है,इसलिए अधिकतम मान $M = 3\sqrt{3}$ है।अतः,$(m, M) = (4, 3\sqrt{3})$।

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