જો $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}}$ અને $y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

આપેલ સમીકરણો $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}}$ અને $y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ છે.
આને $x = a^{\frac{1}{2}\sin^{-1}t}$ અને $y = a^{\frac{1}{2}\cos^{-1}t}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ માટે બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln x = \frac{1}{2}\sin^{-1}t \ln a$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$.
તે જ રીતે,$y$ માટે:
$\ln y = \frac{1}{2}\cos^{-1}t \ln a$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right) \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$.
હવે,ચેઈન રૂલ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}}{\frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}} = -\frac{y}{x}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ સાબિત થાય છે.