જો $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$ હોય,તો ચકાસો કે $A^{\prime} A = I$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ તેની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $A^{\prime} A$ શોધો:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} (\sin \alpha)(\sin \alpha) + (-\cos \alpha)(-\cos \alpha) & (\sin \alpha)(\cos \alpha) + (-\cos \alpha)(\sin \alpha) \\ (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(-\cos \alpha) & (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(\sin \alpha) \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $A^{\prime} A = I$.