यदि $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$ है,तो सत्यापित कीजिए कि $A^{\prime} A = I$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$,उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अब,गुणनफल $A^{\prime} A$ की गणना करें:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} (\sin \alpha)(\sin \alpha) + (-\cos \alpha)(-\cos \alpha) & (\sin \alpha)(\cos \alpha) + (-\cos \alpha)(\sin \alpha) \\ (\cos \alpha)(\sin \alpha) + (\sin \alpha)(-\cos \alpha) & (\cos \alpha)(\cos \alpha) + (\sin \alpha)(\sin \alpha) \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करके पदों को सरल करने पर:
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$.
$A^{\prime} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अतः,यह सत्यापित होता है कि $A^{\prime} A = I$ है।