यदि $\cos y = x \cos (a+y)$ और $\cos a \neq \pm 1$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a}$ है।

दिया गया है कि,$\cos y = x \cos (a+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x \cos (a+y))$
श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$-\sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y) \cdot (1) + x \cdot (-\sin (a+y)) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \sin (a+y) \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} [x \sin (a+y) - \sin y] = \cos (a+y) \quad \dots(1)$
मूल समीकरण से,$x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)}$। इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y}{\cos (a+y)} \sin (a+y) - \sin y \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y \sin (a+y) - \sin y \cos (a+y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin(a+y-y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a}$।
अतः सिद्ध हुआ।