यदि $y = e^{a \cos^{-1} x}$,$-1 \le x \le 1$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - a^{2} y = 0$.

(N/A) दिया गया है,$y = e^{a \cos^{-1} x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = a \cos^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2 y^2}{1-x^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 y^2$.
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों को $2 \frac{dy}{dx}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = a^2 y$.
अतः,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - a^2 y = 0$. इति सिद्धम्।