यदि $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ और $x \neq 0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $a, b, c$ और $d$ $G.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$(a+bx)(b-cx) = (a-bx)(b+cx)$
$ab - acx + b^2x - bcx^2 = ab + acx - b^2x - bcx^2$
$2b^2x = 2acx$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $b^2 = ac$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \dots (1)$.
इसी प्रकार,$\frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ दिया गया है।
$(b+cx)(c-dx) = (b-cx)(c+dx)$
$bc - bdx + c^2x - cdx^2 = bc + bdx - c^2x - cdx^2$
$2c^2x = 2bdx$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $c^2 = bd$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{c}{b} = \frac{d}{c} \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$।
अतः,$a, b, c$ और $d$ $G.P.$ में हैं।