જો $a$ અને $b$ એ $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ હોય અને $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ હોય,જ્યાં $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $(q+p):(q-p)=17:15$.

આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એ $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ છે,તેથી $a+b=3$ અને $ab=p$ $(1)$.
આપેલ છે કે $c$ અને $d$ એ $x^{2}-12x+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $c+d=12$ અને $cd=q$ $(2)$.
$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,ધારો કે $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ પરથી,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ પરથી,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
કિસ્સો $I$: જો $r=2$,તો $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. તેથી $a=1, b=2, c=4, d=8$. એટલે કે $p=ab=2$ અને $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
કિસ્સો $II$: જો $r=-2$,તો $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. તેથી $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. એટલે કે $p=ab=-18$ અને $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $(q+p):(q-p)=17:15$ મળે છે.