यदि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं और $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,जहाँ $a, b, c, d$ एक $G.P.$ बनाते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $(q+p):(q-p)=17:15$ है।
दिया गया है कि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं,इसलिए $a+b=3$ और $ab=p$ $(1)$.
दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $c+d=12$ और $cd=q$ $(2)$.
चूंकि $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में हैं,मान लीजिए $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ से,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ से,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
स्थिति $I$: यदि $r=2$,तो $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. अतः $a=1, b=2, c=4, d=8$. तो $p=ab=2$ और $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
स्थिति $II$: यदि $r=-2$,तो $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. अतः $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. तो $p=ab=-18$ और $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में $(q+p):(q-p)=17:15$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $c+d=12$ और $cd=q$ $(2)$.
चूंकि $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में हैं,मान लीजिए $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ से,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ से,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
स्थिति $I$: यदि $r=2$,तो $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. अतः $a=1, b=2, c=4, d=8$. तो $p=ab=2$ और $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
स्थिति $II$: यदि $r=-2$,तो $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. अतः $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. तो $p=ab=-18$ और $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में $(q+p):(q-p)=17:15$ प्राप्त होता है।
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मान लीजिए $A_1, G_1, H_1$ दो भिन्न धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के क्रमशः समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं। $n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए $A_n, G_n, H_n$ क्रमशः $A_{n-1}$ और $H_{n-1}$ के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ और $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ और $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ और $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ और $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ और $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ और $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ और $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ और $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ और $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ और $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं और $x, y, t$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,तो $x, x - y, t - z$ किस श्रेणी में होंगे?
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