यदि m दिए गए समीकरण (1 - ab)x^2 - (a^2 + b^2) | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$

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$ab(b - a)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$.माना $H_1, H_2, \dots, H_m$ $a$ और $b$ के बीच $m$ हरात्मक माध्य हैं। अनुक्रम $a, H_1, H_2, \dots, H_m, b$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में है।अतः,$\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \dots, \frac{1}{H_m}, \frac{1}{b}$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है।माना इस समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ है। तब $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + (m + 1)d$,जिससे $d = \frac{a - b}{ab(m + 1)}$ प्राप्त होता है।$H_1 = \frac{1}{\frac{1}{a} + d} = \frac{ab(m + 1)}{mb + a}$ और $H_m = \frac{1}{\frac{1}{b} - d} = \frac{ab(m + 1)}{ma + b}$।अंतर $H_m - H_1 = ab(m + 1) \left[ \frac{1}{ma + b} - \frac{1}{mb + a} \right] = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m(a^2 + b^2) + ab(m^2 + 1)}$.समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हर (denominator) $m^2 - 1$ हो जाता है।अतः,$H_m - H_1 = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$।

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