જો $a, b, c$ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ હોય જ્યાં $c$ કર્ણ હોય,તો સાબિત કરો કે ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{a + b - c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નું અંતઃવૃત્ત બાજુઓ $BC, CA, AB$ ને અનુક્રમે $D, E, F$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે,જ્યાં $BC = a, CA = b$ અને $AB = c$ છે. ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $AE = AF$,$BD = BF$ અને $CD = CE = r$ છે.
ચતુષ્કોણ $CDOE$ માં,$\angle C = 90^\circ$ હોવાથી અને ત્રિજ્યાઓ સ્પર્શકોને લંબ હોવાથી,$\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$ થાય. આમ,$CDOE$ એ $r$ બાજુવાળો ચોરસ છે.
તેથી,$CD = CE = r$.
આકૃતિ પરથી,$AF = AE = b - r$ અને $BF = BD = a - r$.
$AB = c$ હોવાથી,આપણી પાસે $AF + BF = c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(b - r) + (a - r) = c$.
$a + b - 2r = c$.
$2r = a + b - c$.
$r = \frac{a + b - c}{2}$.