यदि A=begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{5}} & frac{ | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है क्योंकि $AA^{T} = I$ है।$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \ \fr

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$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ -2021i & 1 \end{bmatrix}$

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(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है क्योंकि $AA^{T} = I$ है।$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।दिया गया है $Q = A^{T}BA$,इसलिए $Q^{n} = A^{T}B^{n}A$ होगा।अतः,$Q^{2021} = A^{T}B^{2021}A$।अब,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ i & 1 \end{bmatrix}$ की घातों की गणना करें।$B^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2i & 1 \end{bmatrix}$।इंडक्शन द्वारा,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ ni & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $B^{2021} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।अब,$AQ^{2021}A^{T} = A(A^{T}B^{2021}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2021}(AA^{T}) = I B^{2021} I = B^{2021}$।इसलिए,$AQ^{2021}A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 2021i & 1 \end{bmatrix}$।आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ k & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ -k & 1 \end{bmatrix}$ होता है।अतः,$(AQ^{2021}A^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ -2021i & 1 \end{bmatrix}$।

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