यदि y=y(x) अवकल समीकरण x^{2} dy + (y - frac{1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ है।$x^{2} dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ प

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$3 - e$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ है।$x^{2} dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.माना $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ और $\frac{1}{x} = -t$ है।$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.$t = -\frac{1}{x}$ रखने पर,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$ प्राप्त होता है।$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$।अतः,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$।$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$।$e^{-2}$ से भाग देने पर,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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