यदि $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}-n-1}+n \alpha+\beta\right)=0$ है,तो $8(\alpha+\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $k \in \mathbb{R}$ है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (\sin k x)+\cos x+x)^{\frac{2}{x}}= e ^6$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(3 x^{2}-4 x+1\right)-x^{2}+1}{2 x^{3}-7 x^{2}+a x+b}=-2$ है,तो $(a-b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a$ एक पूर्णांक है जिसके लिए $\lim \limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x]-3a}$ का अस्तित्व है,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन $\leq t$ को दर्शाता है। तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\alpha > \beta > 0$ समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल हैं,और $\lim_{x}$ ${\rightarrow \frac{1}{\alpha}} \left( \frac{1 - \cos(x^2 + bx + a)}{2(1 - \alpha x)^2} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha} \right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।