यदि alpha, beta समीकरण x^2-x-1=0 के मूल हैं औ | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $x^2-x-1=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ को संतुष्ट करते हैं।दिया गया है $

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$S_{12}=S_{11}+S_{10}$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए समीकरण $x^2-x-1=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ को संतुष्ट करते हैं।दिया गया है $S_n = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n$।$S_{n-1} + S_{n-2} = (2023 \alpha^{n-1} + 2024 \beta^{n-1}) + (2023 \alpha^{n-2} + 2024 \beta^{n-2})$ पर विचार करें।$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha + 1) + 2024 \beta^{n-2}(\beta + 1)$।चूंकि $\alpha + 1 = \alpha^2$ और $\beta + 1 = \beta^2$,इसलिए:$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha^2) + 2024 \beta^{n-2}(\beta^2) = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n = S_n$।अतः,$S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$।$n=12$ रखने पर,हमें $S_{12} = S_{11} + S_{10}$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल हैं और $S_n=2023 \alpha^n+2024 \beta^n$ है,तो

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