જો x=x(t) એ વિકલ સમીકરણ (t+1) dx = (2x + (t+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ માં ગોઠવતા: $\frac{dx}{dt} = \frac{2x

Vedclass · Accepted Answer

$14$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ માં ગોઠવતા: $\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$. $\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$. સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$. બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$. $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$. પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$. તેથી,ઉકેલ $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ મળે છે. $t=1$ માટે: $x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

જો $x=x(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ હોય,તો $x(1)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x + \sin^2 x \cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ ને સુરેખ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,કયો આદેશ લેવો પડે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}+y=x \log x, (x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $2(y(2))=\log 4-1$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module