यदि {z_1} और {z_2} ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(A) माना ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c - id$,जहाँ $a > 0$ और $d > 0$ है। दिया है $|{z_1}| = |{z_2}|$,अतः ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$ है। माना $w

Vedclass · Accepted Answer

शुद्ध काल्पनिक

Vedclass · Answer

(A) माना ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c - id$,जहाँ $a > 0$ और $d > 0$ है। दिया है $|{z_1}| = |{z_2}|$,अतः ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$ है। माना $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$ है। तब $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$ होगा। चूँकि $|{z_1}| = |{z_2}| = r$,हमारे पास $\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ और $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$ प्राप्त होता है। चूँकि $\bar{w} = -w$,सम्मिश्र संख्या $w$ शुद्ध काल्पनिक है। उदाहरण के लिए,${z_1} = 2 + i$ और ${z_2} = 1 - 2i$ लेने पर,$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ प्राप्त होता है,जो कि शुद्ध काल्पनिक है।

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