यदि f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है,जैसे | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f^{\prime}(x) - 2f(x) > 0$. समाकलन गुणक $e^{-2x}$ से गुणा करने पर: $e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) > 0$. यह $\frac{d}{dx}(f(x)

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$A, C$

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(C) दिया गया है $f^{\prime}(x) - 2f(x) > 0$. समाकलन गुणक $e^{-2x}$ से गुणा करने पर: $e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) > 0$. यह $\frac{d}{dx}(f(x) e^{-2x}) > 0$ के बराबर है। मान लीजिए $g(x) = f(x) e^{-2x}$ है। चूँकि $g^{\prime}(x) > 0$,इसलिए $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है। $x > 0$ के लिए,$g(x) > g(0)$ है। चूँकि $g(0) = f(0) e^0 = 1 \cdot 1 = 1$,इसलिए हमें $f(x) e^{-2x} > 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x > 0$ के लिए $f(x) > e^{2x}$ है। चूँकि $x > 0$ के लिए $f(x) > e^{2x} > 0$ और $f^{\prime}(x) > 2f(x)$ है,इसलिए $f^{\prime}(x) > 2e^{2x} > 0$ है। चूँकि $f^{\prime}(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है। अतः,$A$ और $C$ सही हैं।

यदि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x) > 2f(x)$ और $f(0) = 1$ है,तो:

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