x(x-1) frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y का व | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$. इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $x(x-1)$ से

Vedclass · Accepted Answer

$y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$. इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $x(x-1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{x-2}{x(x-1)}y = \frac{x^3(2x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2(2x-1)}{x-1}$. यहाँ,$P(x) = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}) = \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x}) dx} = e^{\ln|x-1| - 2\ln|x|} = \frac{x-1}{x^2}$. रैखिक समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [y \cdot \frac{x-1}{x^2}] = \frac{x^2(2x-1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2} = 2x-1$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cdot \frac{x-1}{x^2} = \int (2x-1) dx = x^2 - x + c$. $y \cdot \frac{x-1}{x^2} = x(x-1) + c$. $x^2$ से गुणा करने पर: $y(x-1) = x^3(x-1) + cx^2$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

$x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$ का व्यापक हल है

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