જો ${x_r} = \cos \left( \frac{\pi }{2^r} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2^r} \right)$ હોય,તો ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots \infty$ નો ગુણાકાર શું થાય?

$\sum_{k=1}^{6} (\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}) = $

ધારો કે ${z_1}$ અને ${z_2}$ એ એકમના $n^{th}$ મૂળ છે જે એક રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ છે જે ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે. તો $n$ એ કયા સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + \omega x + \omega^2 = 0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે. જો $z = \alpha^9 + i\beta^9$ હોય,તો $|z|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $A_r = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 \cdot \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^3 \cdot \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)^3 \cdots \left(x^r+\frac{1}{x^r}\right)^3$. જો $x^2+x+1=0$ હોય,તો $\frac{1}{A_3}+\frac{1}{A_6}+\frac{1}{A_9}+\frac{1}{A_{12}}+\cdots \infty =$

જો ${\left( {\frac{{1 + \cos \theta + i\sin \theta }}{{i + \sin \theta + i\cos \theta }}} \right)^4} = \cos n\theta + i\sin n\theta $ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.