જો sum_{r=1}^{30} frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયો

Vedclass · Accepted Answer

$465$

Vedclass · Answer

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.તેથી,$\alpha = 465$.

જો $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{2n}x^{2n}$ હોય,તો $a_0 + a_2 + a_4 + .... + a_{2n} = $

જો $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ હોય, તો $30a$ ની કિંમત શોધો:

$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

જો $n$ એક ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $\sum_{r=1}^n r^2 \cdot C_r = (\ldots \ldots \ldots) 2^{n-2}$

જો $C_j = {}^{n}C_j$ હોય,તો $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module