यदि $\sum_{r=1}^{13} \left\{ \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)} \right\} = a\sqrt{3} + b$,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान ज्ञात कीजिए: $\sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3\pi}{8} + \sin ^4 \frac{5\pi}{8} + \sin ^4 \frac{7\pi}{8} = $

व्यंजक $\frac{1+\sin 2 \alpha}{\cos (2 \alpha-2 \pi) \tan \left(\alpha-\frac{3 \pi}{4}\right)} - \frac{1}{4} \sin 2 \alpha \left[\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \left(\frac{3 \pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$,जहाँ $x \in R$ और $k \ge 1$ है। तो $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: यदि $\sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2\theta} + 4 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2$ है,तो $\theta$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश या $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में स्थित है।
कारण $(R)$: $\sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$

यदि किसी $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए $\cot x = \frac{5}{12}$ है, तो $\sin 7x(\cos \frac{13x}{2} + \sin \frac{13x}{2}) + \cos 7x(\cos \frac{13x}{2} - \sin \frac{13x}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।