જો $x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોય અને $a^x = b^y = c^z$ હોય,તો

$3, 3^2, 3^3, \dots, 3^n$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક શું છે?

ધારો કે $729, 81, 9, 1, \dots$ એક શ્રેણી છે અને $P_{n}$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે. જો $2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}}$ અને $\gcd(\alpha,\beta)=1$ હોય, તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ વધતા ધન પદોની $G.P.$ છે. જો $a_1 a_5 = 28$ અને $a_2 + a_4 = 29$ હોય,તો $a_6$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ વધતી જતી ધન સંખ્યાઓની $G.P.$ છે. જો $a_3 a_5 = 729$ અને $a_2 + a_4 = \frac{111}{4}$ હોય,તો $24(a_1 + a_2 + a_3)$ ની કિંમત શોધો.

$G.P.$ નું $12$ મું પદ શોધો જેનું $8$ મું પદ $192$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.