यदि $P(x) = ax^2 + bx + c$ और $Q(x) = -ax^2 + dx + c$ जहाँ $ac \neq 0$,तो $P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम:

यदि समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ के मूल समान हैं,जहाँ $a + c = 15$ और $b = \frac{36}{5}$ है,तो $a^2 + c^2$ का मान . . . . . . है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल हैं और $\alpha + h$ तथा $\beta + h$ समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के मूल हैं,तो

मान लीजिए $S$ सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय है,जिसके लिए द्विघात समीकरण $\alpha x^2 - x + \alpha = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $x_1$ और $x_2$ हैं जो असमिका $|x_1 - x_2| < 1$ को संतुष्ट करते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा अंतराल $S$ का उपसमुच्चय है?
$(A) \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$
$(C) \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(D) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$

यदि समीकरण $bx^2 + cx + a = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,तो $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए व्यंजक $3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ कैसा होगा?

व्यंजक $x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 2x - 12y - 6z + 14$ का न्यूनतम मान क्या है?