यदि $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$8$ समान पुस्तकों को $4$ समान अलमारियों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या,जहाँ कितनी भी अलमारियाँ खाली रह सकती हैं,किसके बराबर है?

$x+y+z+w=25$ और $x, y, z \geq -1, w \geq 1$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों $x, y, z, w$ की संख्या है

एक कक्षा में दस लड़के $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}$ और पाँच लड़कियाँ $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{5}$ हैं। यदि $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों एक साथ समूह के सदस्य नहीं होने चाहिए,तो तीन लड़कों और तीन लड़कियों का समूह बनाने के तरीकों की संख्या क्या है?

$4$ जोड़ों (पति और पत्नी) में से $4$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है कि इसमें कोई भी जोड़ा शामिल न हो?

$10$ और $10,000$ के बीच ऐसे कितने पूर्णांक हैं जिनमें प्रत्येक अंक अपने ठीक पहले वाले अंक से बड़ा है?