यदि f(x) = begin{cases} frac{a}{2}(x - |x|), | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा पर विचार कर

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$a$ कोई भी वास्तविक मान है और $b$ कोई भी वास्तविक मान है

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{-}} \frac{a}{2}(x - |x|)$.चूंकि $x यह $a$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।अब,दाएँ पक्ष की सीमा पर विचार करें: $\lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} ight)$.हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} ight) \leq 1$.$bx^2$ से गुणा करने पर,हमें $-|bx^2| \leq bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} ight) \leq |bx^2|$ प्राप्त होता है।स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे $x 	o 0$,$bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} ight) 	o 0$.यह $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।अतः,$f(x)$,$a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए $x = 0$ पर सतत है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a}{2}(x - |x|), & \text{for } x < 0 \\ 0, & \text{for } x = 0 \\ bx^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right), & \text{for } x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो

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सतत फलनों के प्रत्येक युग्म $f, g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $\max \{f(x): x \in [0, 1] \} = \max \{g(x): x \in [0, 1] \} = \lambda$ है,तो सही कथन है (हैं):

$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

निम्नलिखित फलनों की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए:
a) $f(x) = \sin x + \cos x$
b) $f(x) = \sin x - \cos x$
c) $f(x) = \sin x \times \cos x$

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