જો $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$,જ્યાં $x \in (1, \infty)$,તો $f'(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{77}{36}=0$ અને $0 < \alpha < 13$ હોય,તો $\sin ^{-1}(\sin \alpha)+\cos ^{-1}(\cos \alpha)$ ની કિંમત $.........$ થાય.

સમીકરણ $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે? $($અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો $\sin ^{-1} x$ અને $\tan ^{-1} x$ અનુક્રમે $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ અને $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.$)$

જો $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ હોય,તો $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ ની કિંમત શોધો.

પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, $16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો: ($\pi^2$ માં)

જો $0 \leq x < \frac{3}{4}$ હોય, તો સમીકરણ $\operatorname{Tan}^{-1}(2x-1) + \operatorname{Tan}^{-1}(2x) = \operatorname{Tan}^{-1}(4x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x+1)$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?