यदि $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ पर एक बिंदु है,तो $SP \cdot S'P = \_\_\_\_$

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियाँ हैं और उत्केंद्रता $2$ है।

एक अतिपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर गुजरता है और इसकी नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ पर हैं। तो वह बिंदु जो इस अतिपरवलय पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा पर स्थित है,वह है

मान लीजिए कि $S$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ का धनात्मक $X$-अक्ष पर स्थित नाभि है और $P(5, y_1)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है। तो $SP =$

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता $\frac{5}{4}$ है। यदि अतिपरवलय पर बिंदु $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण $8 \sqrt{5} x + \beta y = \lambda$ है,तो $\lambda - \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $x^2-y^2-4x+2y+c=0$ के लिए,यदि नाभि $S(2+2\sqrt{2}, k)$ है और $S$ के निकटतम नियता $x=2+\sqrt{2}$ है,तो $c=$